Лига математиков

На Ленинградской олимпиаде 1972-го года предлагалась следующая задача:

Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна 1972?

Мне удалось найти натуральное число, у которого не только сумма цифр квадрата равна 1972, но и сумма цифр самого числа также равна 1972.

Сделайте это и вы, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.

Люблю занимательные математические даты.
Сегодня 25/07/25 три семерки:

2+5 | 0+7 | 2+5=777

Значений данного числа 777 множество: одно из них - джек пот.

В среду после ливня я сидела на кухне и считала: какие числа, если из них вычесть произведение цифр, дают сумму квадратов тех же цифр?
Над раковиной капало, чай остывал.
Три ответа, как три бывших:
13 — милый, с быстрой речью и ясными глазами.
63 — ленивец, но горячий.
91 — тот, что звонил весной, когда уже всё было кончено.

А больше никого. Я проверила — троичных, четвёрочных, пятизначных и выше — нет. Ноль бы подошёл, но ноль не в счёт.
Выходит, у жизни тоже бывают такие уравнения, где решения — редкость и чудо.

"Когда вы пытаетесь придумать доказательство с помощью математической индукции, вам оно может не удаваться по двум противоположным причинам. Оно может вам не удаваться и потому, что вы пытаетесь доказать слишком много: ваше

P(n+1) — слишком тяжёлый груз.

Оно может вам не удаваться и потому, что вы пытаетесь доказать слишком мало: ваше

P(n) — слишком слабая опора.

Вообще, вы должны уравновесить утверждение вашей теоремы так, чтобы опора была как раз достаточна для груза."

— Д. Пойа

Легко представить номер текущего года, сиречь число 2025, в виде суммы кубов пяти целых чисел: 2025=1000+1000+27+(-1)+(-1)=10^3+10^3+3^3+(-1)^3+(-1)^3.

А можно ли сделать это так, чтобы все 5 чисел были по модулю меньше 10?

Только чур, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.

Расставьте по кругу 6 различных ненулевых цифр так, чтобы каждая из них равнялась последней цифре суммы своих соседей.