На Ленинградской олимпиаде 1972-го года предлагалась следующая задача:
Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна 1972?
Мне удалось найти натуральное число, у которого не только сумма цифр квадрата равна 1972, но и сумма цифр самого числа также равна 1972.
Сделайте это и вы, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
Легко представить номер текущего года, сиречь число 2025, в виде суммы кубов пяти целых чисел: 2025=1000+1000+27+(-1)+(-1)=10^3+10^3+3^3+(-1)^3+(-1)^3.
А можно ли сделать это так, чтобы все 5 чисел были по модулю меньше 10?
Только чур, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
Выписываем наименьшее простое число, затем его порядковый номер, затем следующее простое число и его порядковый номер и так далее. Всё это пишем друг за другом без пробелов. Если так написать первые 11 простых чисел с их номерами, получится число
2132537411513617719823929103111
, которое тоже простое. Красиво, правда?
Число 213253 также простое и построено по тому же принципу.
А вот третьего такого числа, кажется, нет. Во всяком случае, компьютерная проверка вплоть до первых 60 простых чисел не дала результата.
Если вдруг обнаружите новый «успешный» пример — это будет маленькая сенсация!
Задача про хвост «2121…21».
Докажите, что сколько бы раз Дождливая Аня ни выписала подряд без пробелов число 21, найдётся точный квадрат, десятичная запись которого оканчивается на выписанное Аней число.
Докажите, что сколько бы раз Дождливая Аня ни выписала подряд без пробелов число 21, найдётся точный квадрат, десятичная запись которого оканчивается на выписанное Аней число.
У каких примориалов, увеличенных на 2, сумма делителей будет нечётной?
Ясно, что нечётную сумму делителей дают либо квадраты, либо удвоенные квадраты.
Вот первые 4 решения: 4, 8, 32, 2312.
Существует ли пятое и как его найти?
Существуют ли простые близнецы, у которых сумма цифр отличается в 5 раз?
Может ли сумма цифр куба натурального числа оказаться в 17 раз больше суммы цифр самого числа?
Для всех натуральных k, меньших 17, это возможно. Вот наименьшие значения n, при которых сумма цифр числа n^3 ровно в k раз больше суммы цифр числа n:
1, 9, 3, 2, 144, 12, 31, 4113, 111, 20132, 41013, 20031, 103102, 2102112, 210021, 11011 (и почему этой последовательности нет в OEIS?)
Как мы видим, например, для k=14 наименьшее n оказывается уже довольно немаленьким, а именно 2102112.
Для k=17 оно либо ещё больше, либо его не существует вообще.
Было бы любопытно найти такое число или доказать, что его нет.
Прошу заметить, что число 42 (сорок-два) тоже является важным для бандуражзма числом, пусть и не таким как 11, 14 и тем более 54. Начнем с того, что это число является ответом на главный вопрос жизни вселенной и всего такого в книге "Автостопом по галактике". Автор данной книги Дуглас Адамс родился !11! марта 1952, а умер !11! мая 2001, в 49 лет. Число 11 встречалось 2 раза, а как мы помним из анализа числа 11 на 11 = 121 то есть 1+2+1, а от смены слагаемых сумма не меняется, значит 1+1+2, а 11 встречается 2 раза, бум! Дуглас связан с числом 11, значит и книга, значит и число 42! Но это еще не все!
Вышеупомянутая книга была опубликована в 1979 году. Берем 79, 79 - 54 = 25, 25 - 14 = !11! И как вы возможно могли догадаться пользуются информацией из курса математики за 3 класс 25 - 11 = !14!
Как я сказал выше Дуглас Адамс умер в 49 лет, в мае, а май 5 по счёту месяц! 49 + 5 = !54!
Если посчитать количество произведений Дугласа Адамса то мы получим 13, если еще считать экранизации то 17, однако никто не знает о его тайном произведении, которое он не опубликовал, закопал, сжёг и съел (именно в таком порядке), а после не пережил утраты такого произведения и умер от сердечного приступа. Государство разумеется сократила его смерть до последнего аспекта. Так вот, включая это произведение их 18! А 42+18 = 60, 42-18 = 24(что кстати 42 наоборот) а 60- 24 = 46, возьмем это число и 8, то есть 4*2, и сложим. Получается 54! Это только часть моего исследования, я буду продолжать доказывать причастность 42 в бандуражизме
