0 просмотренных постов скрыто
Задача, предлагавшаяся на Ленинградской олимпиаде
На Ленинградской олимпиаде 1972-го года предлагалась следующая задача:
Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна 1972?
Мне удалось найти натуральное число, у которого не только сумма цифр квадрата равна 1972, но и сумма цифр самого числа также равна 1972.
Сделайте это и вы, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
Зеркальная дата
Показать полностью
1
Сегодня день теоремы Пифагора
Показать полностью
1
Представить число 2025 в виде суммы кубов пяти целых чисел
Легко представить номер текущего года, сиречь число 2025, в виде суммы кубов пяти целых чисел: 2025=1000+1000+27+(-1)+(-1)=10^3+10^3+3^3+(-1)^3+(-1)^3.
А можно ли сделать это так, чтобы все 5 чисел были по модулю меньше 10?
Только чур, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
The 19th Term of Sequence A061074 (19-й элемент последовательности A061074)
For some reason, OEIS sequence A061074 is listed with only its first 18 terms:
https://oeis.org/A061074
Perhaps nobody ever found the 19th term, or maybe they just didn’t feel like looking for it.
In any case, the 19th term is
123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123
(63 digits in total).
If OEIS hasn’t added it yet, at least it will be preserved here.
So the smallest positive integer whose digits appear in order 123…901… and that is divisible by 19 is
123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123
Последовательность A061074 в OEIS представлена почему-то только её первыми 18-ю элементами:
https://oeis.org/A061074
То ли они не нашли 19-й, то ли поленились его искать.
В любом случае, этот элемент равен следующему числу:
123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123 (всего 63 цифры).
И если его не добавили в OEIS, то пусть он хотя бы здесь останется.
То есть наименьшее натуральное число, в котором все цифры идут по порядку, и которое делится на 19, равно 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123.
Показать полностью
Аритмомахия (пункт 6, границы применимости числовых систем)
Мы прошли путь от простого счета камешков (ℕ) до описания квантовых волн (ℂ). Иерархия числовых систем ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ возникла как последовательное расширение возможностей математики для решения прикладных задач. Каждый переход был обусловлен невозможностью выразить определенные величины или операции в рамках предыдущей системы. Выбор числового множества определяется конкретной задачей:
ℕ (натуральные) применяются для счета дискретных объектов (люди, атомы, уникальные предметы).
ℤ (целые) используются при учете противоположных состояний или направлений (деньги в базовых единицах, координаты, разности уровней).
ℚ (рациональные) описывают точные пропорции и отношения (рецепты, масштабы, вероятности дискретных событий).
ℝ (вещественные) моделируют непрерывные физические величины и процессы (длина, время, скорость, координаты, математический анализ).
ℂ (комплексные) необходимы для описания систем с фазовыми параметрами или двумерных преобразований (электротехника, квантовая механика, обработка сигналов).
Применимость числовой системы зависит от природы решаемой задачи.
В этой главе мы отойдём от привычного формата, и каждому подпункту будут соответствовать задания, которые мы предлагаем вам решить.
Подсчитайте количество стульев в аудитории.
В коробке 12 карандашей. Сколько карандашей в 5 таких коробках?
Найдите НОД (наибольший общий делитель) чисел 36 и 48.
Является ли число 101 простым?
Сколько существует натуральных решений неравенства x < 10?
Решите уравнение: 5x - 7 = 18.
Найдите сумму первых 50 натуральных чисел.
Делится ли число 7^12 + 3 на 5? (Используйте признаки делимости или модульную арифметику).
Решите в натуральных числах: x^2 + y^2 = 25.
Почему уравнение x + 8 = 5 не имеет решения в натуральных числах?
От ℕ к ℤ
Представьте ситуацию: у вас есть 3 монеты (x = 3), а долг составляет 5 монет (b = 5). Уравнение, моделирующее погашение долга: x + y = b, или 3 + y = 5, легко решается в N: y = 2 (нужно добавить 2 монеты).
Но что, если ситуация обратная? У вас долг в 3 монеты (x = -3? Но отрицательных чисел в N нет), а вам дали 5 монет (b = 5). Уравнение x + y = b принимает вид: ? + 5 = 5. Как выразить исходный долг? Более наглядно ограничение видно в уравнении типа:
a + x = b, где a > b
Exempli gratia: x + 8 = 5. Это уравнение принципиально неразрешимо в множестве натуральных чисел (ℕ). В мире ℕ нет такого числа x, которое, будучи прибавленным к 8, даст 5. Потребность оперировать с недостатками, долгами, противоположными направлениями (высота ниже уровня моря, движение назад) привела к расширению до целых чисел (Z), включающих отрицательные числа и ноль. Теперь x = -3 + 8 = 5 вполне решаемо.
Температура упала с +5°C до -3°C. На сколько градусов изменилась температура?
Решите уравнение: x + 17 = 10.
Вычислите: | -15 | + (-8) * 3.
Найдите все целые решения неравенства: -4 ≤ 2x < 6.
Сумма трех последовательных целых чисел равна -12. Найдите эти числа.
Решите уравнение: 3| x - 4 | = 15.
Докажите, что квадрат любого целого числа при делении на 4 дает остаток 0 или 1.
Найдите остаток от деления (-23)^15 на 5.
Решите в целых числах систему: x + y = 10, 2x - y = 4.
Почему уравнение 3x = 2 не имеет решения в целых числах?
От ℤ к ℚ
Целые числа (ℤ) прекрасно справляются с задачами, где важны целые противоположности. Однако они бессильны перед необходимостью точного деления на части. Представьте деление 3 целых яблока поровну между 2 людьми. Каждому должно достаться число x, удовлетворяющее уравнению 3x = 2. В множестве целых чисел (ℤ) такого числа x не существует. Ни одно целое число, умноженное на 2, не даст 1. Это ограничение требовало введения дробей, что привело к созданию рациональных чисел (ℚ) — чисел, представимых как отношение двух целых (дробь m/n, где n ≠ 0). Теперь x = 0,15 , что очевидно.
Представьте дробь 3/8 в виде десятичной.
Сократите дробь: 48/72.
Вычислите: (2/5) * (15/8) + (1/2).
Решите уравнение: (2/3)x = 5/6.
Переведите периодическую дробь 0.1(6) в обыкновенную дробь.
Сравните числа: 5/7 и 7/10.
Решите уравнение: (x - 1)/3 = (2x + 1)/4.
Докажите, что сумма (1/2 + 1/3 + ... + 1/10) не является целым числом.
Найдите x, если 60% от x равны 40% от 90.
Почему нельзя точно представить длину диагонали единичного квадрата (√2) рациональным числом? (Без строгого доказательства, объясните суть).
От ℚ к ℝ
Рациональные числа (ℚ) идеальны для описания точных пропорций. Однако геометрия и анализ сразу указали на их неполноту. Классический пример: отношение длины окружности к её диаметру. Для любой окружности это отношение постоянно и равно числу π (пи). Уравнение, выражающее это: C / D = π. Доказано, что ни одна дробь (никакое рациональное число ℚ) не может точно выразить значение π. Решение x = π существует геометрически (это универсальное отношение для всех окружностей), но не выражается точно никакой конечной или периодической десятичной дробью (что эквивалентно представлению дробью m/n). Это несоответствие между геометрической непрерывностью (кривая окружность) ℚ потребовало введения вещественных чисел (ℝ), включающих иррациональные числа (как π, √2, e), чтобы "заполнить" числовую прямую полностью.
Измерьте длину карандаша в сантиметрах (значение будет вещественным).
Округлите число π ≈ 3.14159265 до сотых.
Решите уравнение: x² = 10 (найдите приближенное значение).
Сравните числа: √3 и 1.732.
Вычислите площадь круга радиусом R=5 см (S = πR²).
Решите уравнение: x³ - 2x² - 5x + 6 = 0 (один корень - целый, найдите его; другие - вещественные).
Найдите предел: lim (x → ∞) (3x² + 2x - 5) / (2x² - x + 1).
Вычислите: sin(π/3) + log₂(8).
Докажите, что уравнение x⁵ - 3x - 1 = 0 имеет вещественный корень на интервале (1, 2).
Почему уравнение x^3 - 15x - 4 = 0 не имеет решения в вещественных числах?
От ℝ к ℂ
Вещественные числа (ℝ) создают непрерывную, "сплошную" числовую прямую. Они фундаментальны для математического анализа, физики сплошных сред, описания любых непрерывно изменяющихся величин. Однако алгебра ставит перед ними непреодолимую (в их рамках) преграду. Рассмотрим вышеупомянутое уравнение:
x^3 - 15x - 4 = 0
Формально, подставляя вещественные числа, можно найти корень x=4 (4^3 - 15*4 - 4 = 64 - 60 - 4 = 0). Однако применение классической формулы Кардано для решения кубических уравнений в процессе вычислений приводит к необходимости извлечь квадратный корень из отрицательного числа: √(-121) = √(-1 * 11^2) = 11√(-1). В множестве вещественных чисел (ℝ) операция √(-1) не определена — квадрат любого вещественного числа неотрицателен.
Потребность получить вещественный корень (x=4) через формальные алгебраические методы, требующие промежуточных "несуществующих" (с точки зрения ℝ) операций, а также описание колебаний и волн (где комплексные числа кодируют амплитуду и фазу), привела к самому фундаментальному расширению — введению комплексных чисел (ℂ). В них определяется мнимая единица i, такая что i^2 = -1, и числа представляются как a + bi, где a и b — вещественные числа. Это позволяет корректно выполнять промежуточные вычисления (вроде √(-121) = 11i) и получать как комплексные, так и вещественные результаты. Уравнение x^3 - 15x - 4 = 0 имеет вещественный корень x=4, найденный через комплексные числа (ℂ).
Решите уравнение: z² = -9.
Вычислите: (2 + 3i) + (5 - i).
Умножьте: (1 - 2i) * (3 + i).
Найдите модуль комплексного числа: -4 + 3i.
Представьте число 1 - i в тригонометрической форме (r(cosφ + i sinφ)).
Вычислите: i⁴⁵ (используйте периодичность i^n).
Решите уравнение: z² - 4z + 13 = 0.
Найдите комплексное число z, такое что |z| = 5 и Re(z) = 3.
Используя Формулу Эйлера (e^(iφ) = cosφ + i sinφ), вычислите e^(iπ).
Объясните, почему комплексные числа удобны для описания переменного тока в электротехнике (качественно: амплитуда и фаза).
Описание синусоидального сигнала переменного тока (например, напряжения U(t) = U₀ * sin(ωt + φ)) требует одновременного учета двух ключевых параметров: амплитуды (U₀) и фазы (φ). Непосредственный анализ цепей, содержащих катушки индуктивности (L) и конденсаторы (C), с использованием таких временных функций приводит к сложным дифференциальным уравнениям из-за зависимости токов и напряжений на этих элементах от производных (скоростей изменения сигнала).
Комплексные числа предоставляют способ преодоления этой сложности.
Во-первых, сигнал представляется комплексной амплитудой (фазором) Ů = U₀ * e^(iφ). Его модуль |Ů| = U₀ хранит амплитуду, аргумент arg(Ů) = φ хранит фазу. Это объединяет два параметра в один объект.
Во-вторых, свойства элементов описываются комплексным сопротивлением: резистор (R): Ż_R = R (действительное, фазы совпадают), катушка (L): Ż_L = i * ωL (мнимое +i, ток отстает на 90°), конденсатор (C): Ż_C = -i/(ωC) (мнимое -i, ток опережает на 90°). Мнимая единица i естественно кодирует фазовые сдвиги.
В-третьих, основные законы принимают алгебраическую форму: закон Ома: Ů = Ż * İ (комплексные напряжение, ток, импеданс), правила Кирхгофа (Σ İ_k = 0, Σ Ů_k = 0) работают аналогично цепям постоянного тока. Это позволяет применять все методы анализа цепей постоянного тока к сложным цепям переменного тока, просто используя комплексные числа.
В-четвёртых, комплексная мощность Š = Ů * İ* компактно дает активную (Re(Š)), реактивную (Im(Š)) и полную (|Š|) мощность.
Наш главный приоритет - публикация качественного и достоверного материала. Каждая статья проходит многоэтапную проверку нашей командой.
Важно: материалы нашего проекта носят исключительно информативный характер. Они не являются образовательным контентом и не заменяют академические источники.
Схема-маршрутизатор ключевых положений поста.
Показать полностью
2
Аритмомахия (пункт 5, комплексные числа)
Мы прошли путь от натуральных чисел (ℕ), инструмента счёта дискретных объектов, к целым числам (ℤ), покорившим симметрию бытия: долги (-100$), холод (-15°C), обратные векторы движения. Рациональные числа (ℚ) научили нас делить целое: 3 яблока на 4 друзей (¾), ½ метра ткани, и помогли решить уравнение 2x = 1 (x = ½). Вещественные числа (ℝ) заполнили пробелы континуума: диагональ квадрата √2, длина окружности π, рост вклада e. Но:
Как описать ток в цепи конденсатора? Как смоделировать квантовую частицу? Как решить уравнение x² = -1?
Все предыдущие числа бессильны здесь, и наталкиваются на принципиальный барьер: уравнение x² + 1 = 0 не имеет решений в ℝ, волновые процессы (свет, звук) требуют двумерных величин, а квантовая суперпозиция не укладывается в вещественные координаты.
Ответом являются комплексные числа (ℂ).
Примечание: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ и ℂ— стандартные символы Юникода (exempli gratia, ℕ = U+2115), предназначенные специально для множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел соответственно. Использование данных символов исключает двусмысленность, вроде "...пусть N — натуральное число, тогда N ∈ N", что только запутает читателя.
В I веке н.э. Герон Александрийский в "Метрике" столкнулся с квадратным корнем из отрицательного числа при расчете пирамиды, но отбросил результат как "бессмысленный":
Таковая величина не может существовать среди действительных чисел.
Персидский математик Аль-Хорезми (IX век) в "Аль-Джабр" классифицировал квадратные уравнения, но для случаев вроде x² + 1 = 0 писал:
Отрицательное не имеет квадрата, ибо отрицательное не есть число.
Поворотный момент наступил в XVI веке. Джероламо Кардано в "Ars Magna" (1545 г.) формально записал корни кубического уравнения, и назвал их "софистическими" — "более тонкими, чем реальность":
x = ∛[10 + √(-108)] + ∛[10 - √(-108)]
Прорыв совершил Рафаэль Бомбелли в "Алгебре" (1572 г.). Для уравнения Кардано:
*x³ = 15x + 4 → x = ∛(2 + √-121) + ∛(2 - √-121)*
Он открыл правила мнимых операций:
√(-1) · √(-1) = -1 (+1)·[√(-1)] = +√(-1)
Рене Декарт (1637) в "Геометрии" ввел термин "мнимые числа" (nombres imaginaires), противопоставляя их "реальным":
Корни могут быть не всегда реальны, иногда — лишь воображаемы
Леонард Эйлер (1777) установил символ i для √-1 в письме к Лагранжу, и он же вывел формулу e^{iφ} = cos φ + i sin φ, связав анализ и тригонометрию:
Пусть √-1 обозначается буквой i
Каспар Вессель (1799) представил комплексные числа как векторы на плоскости:
"Направленная линия: длина a, угол θ с осью"
Но его работа осталась незамеченной.
А Карл Фридрих Гаусс в работе "Theoria residuorum biquadraticorum" (1799) дал строгое определение:
ℂ = \{a + bi \mid a,b \in ℝ,\ i^2 = -1\}
В XIX век Уильям Гамильтон (1837 г.) формализовал комплексы как пары вещественных чисел:
ℂ = { (a,b) | a,b ∈ ℝ }
с операциями:
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
(a,b) · (c,d) = (ac-bd, ad+bc)
Карл Вейерштрасс ввел символ ℂ (1893 г., лекции в Берлине), однако его лекции записывали ученики (Гурвиц, Фробениус), и в их конспектах комплексные числа часто обозначаются просто C (латиница) или K (от "komplex"), а не готической ℂ.
Эдмунд Ландау (1917) в книге "Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie" систематически использует ℂ для поля комплексных чисел. Однако Ландау всего лишь популяризовал уже ходивший в Гёттингенском университете (где работали и он, и Вейерштрасс раньше) символ.
Символ ℂ был стандартизирован группой Николя Бурбаки в "Элементах математики" (1939):
Обозначим через ℂ поле комплексных чисел
— Livre II: Algèbre, Ch. 2, §1
Мы не можем отказать себе в удовольствии процитировать Давида Гильберта, провозгласившего:
Введение комплексных чисел [...] придает алгебре ее завершенность и совершенство. [...] Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто..
— Hilbert, D. Vorlesungen über Zahlentheorie (1912/13), bearbeitet von S. Gümbel, S. 62.
Схема-маршрутизатор визуализации рациональных чисел.
Множество упорядоченных пар ℂ = { (a, b) } с операциями:
Сложение:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Умножение:
(a, b) × (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Примеры:
*i = (0, 1)* → *i² = (0,1) × (0,1) = (-1, 0)*
*3 + 4i = (3, 4)*
*-2i = (0, -2)*
Операции:
Сложение:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Пример: (2, 3) + (1, 4) = (3, 7)
Умножение:
(a, b) × (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Пример: (0, 1) × (0, 1) = (-1, 0)*
Аксиомы поля:
Сложение — абелева группа:
Ассоциативность: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)
Коммутативность: z₁ + z₂ = z₂ + z₁
Нейтральный: (0, 0)
Обратный: -(a, b) = (-a, -b)
Умножение (ℂ{0}) — абелева группа:
Обратный: (a, b)⁻¹ = (a/(a² + b²), -b/(a² + b²))
Дистрибутивность: z₁ × (z₂ + z₃) = z₁ × z₂ + z₁ × z₃
Ключевое свойство: Алгебраическая замкнутость (любой многочлен *P(z) = 0* имеет корень в ℂ).
Геометрический смысл
Число z = (a, b) соответствует:
Точке (a, b) на плоскости
Вектору из (0, 0) в (a, b)
Полярной форме: z = r(cos φ + i sin φ) = re^{iφ}
где r = √(a² + b²), *φ = atan2(b, a)*
Применение:
Решение *x² = -1* → x = ±i
Интеграл ∫e^{-x²}dx = √π (через методы ℂ)
Умножение на e^{iφ} → поворот вектора на угол φ
e^{iπ} + 1 = 0связь фундаментальных констант 0, 1, e, π, i.
Хотя переход к ℂ устраняет ключевой алгебраический дефект ℝ (разрешая x² = -1), он не преодолевает барьеры неполноты, установленные теоремой Гёделя. Любая достаточно богатая формальная система, способная выразить арифметику ℕ (а ℂ содержит ℕ как подмножество), будет либо неполной (существуют истинные, но недоказуемые утверждения), либо противоречивой. Комплексные числа, будучи алгебраически замкнутыми и метрически полными, остаются бессильны против логических пределов познания.
1. Проблема выразимости корней высших степеней
Почему корни многочлена x⁵ - x + 1 = 0 нельзя точно записать с помощью радикалов (ⁿ√, +, -, ×, ÷)? Фундаментальная теорема алгебры гарантирует 5 комплексных корней, но не даёт формулы для их выражения.
Уравнения степени ≤4 разрешимы в радикалах (например, x³ - 2 = 0 → x = ³√2), но для x⁵ - x + 1 = 0 общая формула отсутствует принципиально. Теорема Абеля-Руффини (1824): Для многочленов общей формы степени ≥5 не существует решения в радикалах.
2. Проблема идентификации трансцендентных чисел
Как доказать, что e^π — трансцендентное число, и почему для e + π это неизвестно? Трансцендентное число (∉ алгебраическому замыканию ℚ) не может быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами.
e^π (число Гельфонда) доказано трансцендентным (теорема Гельфонда–Шнайдера), но для e + π все попытки провалились. Нет алгоритма, определяющего трансцендентность произвольного z ∈ ℂ. Индивидуальные доказательства требуют глубокого анализа. Универсальный метод невозможен из-за бесконечного разнообразия чисел в ℂ.
3. Проблема критической линии дзета-функции
Почему гипотеза Римана (все нетривиальные нули ζ(s) лежат на Re(s) = 1/2) не доказана, несмотря на проверку триллионов нулей? Нули ζ(s) в полосе 0 < Re(s) < 1 — это точки на комплексной плоскости. Их положение связано с хаосом простых чисел в ℕ.
Контрпример — ноль вида 0.4 + i·t — немедленно опровергнет гипотезу. Но даже при |t| > 10³⁰ все нули упорно прилипают к линии Re(s)=0.5. Глубина аналитического аппарата ℂ недостаточна. Требуются принципиально новые связи между анализом и арифметикой.
4. Проблема алгоритмической неразрешимости для систем
Почему нельзя создать программу, определяющую, имеет ли система z₁² + z₂³ = 1, z₁z₂ = 2 решение в ℂ? Для одного уравнения алгоритм есть (ФТА), но для систем от двух переменных и выше ситуация меняется.
Простейшая система z₁² + 1 = 0, z₂² + 1 = 0 разрешима (z₁=±i, z₂=±i), но для z₁³ + z₂³ = z₁z₂ + k (k ∈ ℂ) не существует общего алгоритма проверки разрешимости. Теорема Мухина (1977): Проблема разрешимости диофантовых уравнений в ℂ для n≥2 переменных алгоритмически неразрешима.
5. Проблема вычислительной катастрофы
Почему мнимое число i·10^{-100} может "сломать" вещественные вычисления? Представление z = x + iy наследует проблемы вещественной арифметики: ошибки округления и неустойчивость.
Уравнение x² - 4x + 4 = 0 имеет корень x=2 (кратности 2). Но при ничтожном возмущении:
x² - (4 + 10^{-10})x + 4 = 0 → корни 2 + 5·10^{-11} ± i·\sqrt{10^{-10}}. Малая погрешность в коэффициенте (10^{-10}) порождает катастрофическую мнимую компоненту (≈ 0.0003i), хотя исходно корни вещественны. Погрешности в ℝ и неадекватность моделей вычислений для ℂ делают точные результаты фикцией для сложных задач.
Комплексные числа (ℂ) служат базисом квантовой физики и электродинамики. Волновые функции (основа квантовой механики) записываются как Ψ = Re^{iθ}, где амплитуда R и фаза θ описывают состояние частицы. Уравнения Максвелла для электромагнитных полей требуют ℂ для компактной записи гармонических полей: E⃗ = E₀e^{i(ωt - kz)}. В криптографии на изогениях (SIDH, постквантовые алгоритмы) группы точек эллиптических кривых над ℂ обеспечивают стойкость к атакам.
Безусловно, комплексные числа (ℂ) не конечная позиция в иерархии чисел. Хотя ℂ алгебраически замкнуты (любой многочлен имеет корень), существуют уравнения, требующие более сложных систем. Для некоммутативных задач кватернионы (ℍ), для неассоциативных задач октонионы (𝕆), для альтернативной метрики p-адические числа (ℚₚ), для многомерной физики алгебры Клиффорда, для инфинитезималей гипердействительные числа (*ℝ).
Схема-маршрутизатор ключевых положений поста.
Wenn ℕ die Bausteine des Universums sind,
ℤ die Gesetze des Gleichgewichts,
ℚ die Kunst des Messens,
ℝ das Gewebe der Kontinuität,
dann ist ℂ — der Spiegel der mehrdimensionalen Realität,
wo Algebra, Geometrie und Physik verschmelzen
in der Harmonie von Eulers Formel:e^{iπ} + 1 = 0
- Arithmomachia von Paulus Preisghausen.
Наш главный приоритет - публикация качественного и достоверного материала. Каждая статья проходит многоэтапную проверку нашей командой.
Важно: материалы нашего проекта носят исключительно информативный характер. Они не являются образовательным контентом и не заменяют академические источники.
Показать полностью
3