Как найти семнадцатое число Резмен?

Числом Резмен назовём всякое положительное целое, у которого, если само это число разделить на количество его делителей (то есть на количество положительных чисел, на которые оно делится без остатка), в результате получится факториал (произведение нескольких подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы).

Известно, что первые шестнадцать таких чисел, упорядоченные по возрастанию, равны:
1, 2, 8, 12, 72, 384, 720, 5760, 6720, 64800, 181440000, 2322432000, 2351462400, 3773952000, 3991680000, 1034643456000.

Требуется выяснить, существует ли семнадцатое число Резмен. Если оно существует, найдите его или покажите, насколько велико оно может быть. Если же никакого семнадцатого числа Резмен на самом деле не существует, докажите это.

Are there infinitely many prime Fibonacci numbers?

Существует ли бесконечно много простых чисел Фибоначчи?

Я знаю, что это — открытая проблема.
Знаю, что человечество всё ещё далеко от её решения, как от далёкой звезды, к которой нет корабля.
И всё же — не могу не спросить.

Каким могло бы быть доказательство?
Или — опровержение?

Какие дороги могли бы вести нас туда?
Что мы уже умеем? Где тупики?
А где — тропинки, тонкие, но пробитые, может быть, интуицией?

Иногда мне кажется, что сам вопрос — уже свет.
А попытка понять — уже движение вперёд.

Если кто-то захочет подумать об этом вместе — мне будет очень приятно.

Хочу понять. Хочу жить в мире, где можно задавать такие вопросы.

Задаю ИИ вопрос.
Не в первый раз — и, увы, не с первой надеждой на разум:

740740740740740740740749 is a prime number! Am I right?

Ответ — отрицательный.
Разумеется.
Когда не знаешь — проще сказать «нет» с важным видом, чем признаться, что не хватает мозгов.
ИИ, как всегда, уверен в себе. К сожалению, это его единственная сильная сторона:

Prime Check Result

А вот старая добрая Альфа — та самая, что живёт в сети с 2009 года, не суетится, не хвастается интеллектом и просто делает свою работу —
спокойно говорит: да:

is 740740740740740740740749 prime - Wolfram|Alpha

Тут, как говорится, один из двух сценариев:
либо «самый мощный ИИ в мире» снова оказался мощным только в собственных пресс-релизах,
либо — что почти невероятно — дала сбой старая добрая Альфа.

Я, признаться, склоняюсь ко второму варианту…
Хотя нет, вру. Конечно же — к первому.

А вы как думаете? Или уже боитесь думать без подсказки ИИ?

41 — единственное простое число p, такое, что p^6+6 имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).

Как это доказать?

Может ли квадрат какого-нибудь натурального числа оказаться наименьшим общим кратным нескольких (более одного) подряд идущих натуральных чисел?

Настя утверждает, что нашла квадрат простого числа, который можно представить в виде суммы нескольких (более одного) попарно различных квадратов простых чисел.

Какое наименьшее количество слагаемых может быть в Настиной сумме?

(Пример можно найти с помощью программы, однако оценку вполне реально осуществить и вручную, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором!)