Лига математиков

Король одного государства объявил конкурс на замещение вакантной должности советника. Соревнующиеся должны были ответить на вопросы короля. Победил в конкурсе претендент, который правильно и без промедления ответил на все каверзные вопросы. Ему было предложено пять утверждений, относительно которых нужно было наверняка ответить, истинны они или ложны. Претендент не справился бы с этой задачей, если бы ему не помогла принцесса. Она сообщила ему, что король предлагает истинных утверждений больше, чем ложных, и никогда не задаёт подряд три вопроса, требующих одинакового ответа. Кроме того, принцесса подсказала претенденту, что ответы на первый и последний вопросы противоположны. Какие выводы можно было сделать об очередности суждений?

(1) Второе суждение было истинным

(2) Третье суждение было либо истинным

(3) Первое суждение было истинным

(4) Все вышепомянутые варианты были возможны

Найдите все трёхзначные числа, у которых сумма любых двух цифр даёт остаток 2 при делении на третью.

У Ани есть шкаф с пятью выдвижными ящиками, пронумерованными сверху вниз 1 — 5.
В каждый ящик она положила ровно один из пяти разных предметов: бутылку, монету, книгу, ключ и лампочку.

Известно, что:

1) Монета находится выше лампочки, но ниже книги.
2) Между бутылкой и лампочкой расположен ровно один ящик.
3) Ключ лежит либо в самом верхнем, либо в самом нижнем ящике.
4) Бутылка расположена выше монеты.
5) Лампочка не соседствует с ключом.

Задание: определите порядок предметов в ящиках (сверху вниз).

Небрежно расчёсанные числа — 4 шага и 7 ударов сердца

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите наибольшее четырёхзначное число, которое делится на 7, состоит из четырёх различных цифр, и его цифры образуют арифметическую прогрессию.

Рассмотрите два случая:

1) Цифры образуют прогрессию в некотором порядке;

2) Цифры образуют прогрессию в том порядке, в каком стоят в числе.

Задумав некоторое натуральное число n, Дождливая Аня сложила n последовательных натуральных чисел, потом n следующих чисел, после чего полученные суммы перемножила.

Докажите, что в результате у Ани не мог получиться десятичный репьюнит (то есть число, в десятичной записи которого используется только цифра 1).

Пусть f(x)=x↑↑n, где n - нечетное натуральное число. Для каких n функция f(x) монотонно возрастает? Примечание: используется стрелочная нотация Кнута.

Я думаю, что для любого нечётного n функция f(x) монотонно возрастает, но я не смог это доказать. Я считал производную, но это не помогло. Напишите, если сможете продвинуться в этой проблеме.

По пути я придумал интересную задачу: Найдите наибольшую константу с такую, что для любых х>0 и натурального n выполнялось неравенство x↑↑(2n)>c.

У меня есть еще одна задача, которая, правда, не совсем относится к теме: Решите уравнение a↑↑b=c↑↑d в натуральных числах.

Напишите в комментарии какие-нибудь задачи, связанные с нотацией Кнута.

Они прилетели, чтобы изучать нашу планету, но оказалось, что без защитной оболочки им тут не справиться. Но в ваших силах им помочь! Открывайте игру с тамагочи и сделайте электронного питомца счастливым. Это не так просто, как было в детстве. Если справитесь, получите награду в профиль.

Играть в тамагочи