Если отвечать на первый вопрос, то можно задуматься вот о чем. Обычно мы считаем что игра и игроки играющие в эту игру - это часть мира в котором мы живем. Также один из взглядов на наш мир заключается в том что мир можно представить как компьютерную программу, выполняющуюся на собственно компьютере. В этом смысле появляется крайне интересный математический вопрос (ответ на который я пока не нашел полностью), а как собственно найти список игр и играющих в этих игры игроков в каждый момент времени зная то как устроен алгоритм мира в котором играются эти игры? Промежуточные выводы , которые я сделал по этому вопросу с одной стороны просты с другой сложны. Во-первых как мы понимаем то что мы называем "игроком" достаточно многогранно. Предположим мы играем в шахматы с компьютером на нашем смартфоне, программа компьютера может делать случайные ходы, но при этом эти ходы будут по правилам шахмат. Можно ли назвать эту программу игроком? Или к примеру эта программа имеет таблицу всех возможных конфигураций фигур на шахматном поле с привязанным к каждой конфигуарции лучшим ходом. Мы понимаем что эта программа сама не создавала эти ходы , но тем не менее она может быть идеальной и теоретически играть совершенно. Можно ли назвать эту программу игроком? И наконец мы можем придумать программу противника в шахматах которая не только может пользоваться таблицей лучших ходов но и создавать эту самую таблицу путем перебора всех ходов своих и противника. Можно ли эту программу считать игроком? Очевидно также что можно придумать интеллектуальную программу которая заточена будет не только на перебор, но и иметь логическую модель позволяющую ей играть во многих играх. Можем ли мы сказать что данная программа и есть "игрок" которого мы ищем в исходных кодах программы нашего мира?

Если дальше идти по рассуждениям первого вопроса , то мы можем задать вопрос. А чем отличается сложная игра от простой? Если подумать об этом, то один из основных математических признаков отличающих сложную игру от простой звучит так - простые или сложные закономерности связывают обьединенный список последовательностей ходов игроков и кода самой игры с возможными исходами этой игры. На примере шахмат это означает что мы берем все возможные последовательности ходов двух игроков, начальное состояние фигур и правила игры в шахматы затем смотрим - насколько просто эта информация связана с тем выиграет один игрок или другой. Это также означает что на самом деле сложные игры мы можем создавать из сложных закономерностей. Например, мы знаем что десятичная запись числа пи бесконечна, а значит сложна информативна. Давайте придумаем игру с этим связанную. У нас есть два игрока - каждый из них может назвать число от нуля до сколь угодно большого числа. Затем мы эти два числа складываем. Предположим получиться число 36 . Затем берем 36 цифру в десятичной записи числа пи и смотрим меньше это число пяти или больше . Если число меньше - выиграл первый игрок , если больше то второй. Очевидно что ни первый не второй игрок сколь сложный бы компьютер у каждого был бы не смог бы найти самую эффективную стратегию в эту игру , и исход игры решила бы чистая случайность, не только потому что сами ходы игроков могут быть случайными но и потому что в распределении цифр в числе пи нет простых закономерностей. Такую игру можно считать сверхсложной для вычисления потому что существует сложная закономерность числа пи. Также из других сложных математических закономерностей и обьектов можно делать сложные игры.

Стабильные популяции хищников и их жертв описываются моделью Лотки-Вольтерра. Здесь "стратегии" популяций - это скорости размножения и потребления, которые приводят к динамическому равновесию. Коэволюция видов, симбиоз, конкуренция и паразитизм создают устойчивые состояния, в которых виды адаптируются друг к другу, минимизируя конфликты и максимизируя совместное существование. Организмы, конкурирующие за ограниченные ресурсы, достигают распределения, при котором дальнейшие изменения стратегии ухудшат их "платежи" (например, доступность пищи или энергии).

Принцип максимальной энтропии, эволюция и стремление к равновесию

Принцип максимума энтропии утверждает, что в условиях ограниченной информации система переходит в состояние, которое соответствует наибольшему числу микроскопических конфигураций, совместимых с наблюдаемыми макроскопическими параметрами. В биологии и экологии этот принцип проявляется в распределении энергии, структуре экосистем и эволюционных адаптациях.

Энергия в экосистемах распределяется между видами и трофическими уровнями так, чтобы минимизировать градиенты и максимизировать диссипацию (например, поток энергии от солнца к растениям и далее к хищникам). Популяции видов в стабильных экосистемах формируют распределения, соответствующие максимальной энтропии в рамках доступных ресурсов и экологических ограничений [2]. Видовые стратегии (размер тела, метаболизм, репродуктивные циклы) развиваются так, чтобы максимизировать выживаемость в сложной среде, что соответствует увеличению энтропии с учетом ограничений. Математически этот принцип связывается с вариационными принципами в статистической механике - состояние системы определяется максимумом функционала энтропии.

Принцип максимальной энтропии утверждает, что из всех возможных распределений вероятностей предпочтительным является то, которое имеет наибольшую энтропию, при условии соблюдения известных ограничений. В экологии этот принцип применяется для моделирования пространственного распределения видов и прогнозирования их распространения в зависимости от экологических факторов [3]. Например, метод максимальной энтропии (MaxEnt) используется для моделирования ареалов видов на основе ограниченного набора данных о присутствии, что позволяет оценить потенциальные места обитания организмов [4].

Эволюция - это процесс адаптации организмов и систем, приводящий к динамическому равновесию. С помощью естественного отбора эволюционные процессы реализуют стабилизацию взаимодействий, максимизацию энтропии и устойчивость к внешним воздействиям.

Устойчивость экосистем достигается, когда взаимодействия видов минимизируют флуктуации популяций, что соответствует равновесию Нэша. Генетическое разнообразие, мутации и дрейф генов увеличивают энтропию популяции, способствуя адаптации к изменяющейся среде. Эволюционные механизмы формируют системы, которые эффективно перераспределяют энергию и ресурсы, что увеличивает устойчивость к стрессам.

Математическое и физическое обоснование движения эко- и биологических систем к равновесному состоянию

Теория игр, статистическая механика, термодинамика и репликаторная динамика демонстрируют, как природные системы используют фундаментальные физические законы и математические модели для адаптации и стабилизации, создавая устойчивые структуры в условиях хаотичной и непредсказуемой среды.

Эти концепции формируют базу для описания самоорганизующихся систем. В биологии и экологии равновесие Нэша и максимальная энтропия объясняют механизмы конкуренции и кооперации между видами. В физике они лежат в основе описания фазовых переходов и распределений энергии. Совместное применение этих принципов помогает понять поведение систем с множественными взаимодействующими компонентами.

Состояния равновесия описываются через распределение Гиббса, которое максимизирует энтропию при фиксированных макропараметрах (энергии, объеме и т.д.). Второй закон термодинамики обосновывает стремление изолированных систем к состоянию максимальной энтропии, что соответствует естественному движению биологических и экологических систем к устойчивости. Уравнения репликаторной динамики описывают изменения популяций и их стабилизацию.

Математическое и физическое обоснование равновесия Нэша и принципа максимальной энтропии основывается на пересечении теории игр, термодинамики и статистической механики. Эти концепции имеют фундаментальные связи, которые позволяют описывать динамику сложных систем. В физике принцип максимальной энтропии пересекается с вторым законом термодинамики, утверждающим, что замкнутая система стремится к состоянию термодинамического равновесия, при котором энтропия максимальна. Такое равновесие можно рассматривать как аналог равновесия Нэша, где состояние системы оптимально в терминах обмена энергией между компонентами.

Оба подхода активно используются в современных научных исследованиях для анализа сложных систем. Равновесие Нэша помогает понять динамику взаимодействий между видами, конкурирующими за ограниченные ресурсы, и предсказать устойчивые стратегии поведения. Принцип максимальной энтропии, в свою очередь, позволяет создавать модели распределения видов в экосистемах, учитывая неопределенность и вариативность окружающей среды. Интеграция этих концепций способствует более глубокому пониманию механизмов, управляющих биологическими системами, и поддерживает развитие методов их анализа и прогнозирования.

Применение в экономике

В экономике равновесие Нэша используется для анализа стратегического взаимодействия между участниками рынка, помогая предсказать поведение конкурентов и оптимизировать собственные решения. Принцип максимальной энтропии применяется для оценки вероятностных распределений в условиях ограниченной информации, что полезно при моделировании неопределенности в экономических системах.

Обе концепции предоставляют мощные инструменты для анализа сложных систем, будь то биологические сообщества или экономические рынки, позволяя понять и предсказать поведение их компонентов в условиях взаимодействия и неопределенности.

Серия Происхождение экономических систем путем естественного отбора

Литература

[1] Anttila J., Annila A. Natural games // Arxiv.org, 1103.1656, 2011

[2] Chakrabarti C.G., Ghosh K. Maximum-entropy principle: ecological organization and evolution // J Biol Phys., vol. 36, n. 2, 2009, 175-183, DOI: 10.1007/s10867-009-9170-z

[3] Xiao X., McGlinn D.J., White E.P. A strong test of the maximum entropy theory of ecology // The American Naturalist, vol. 185, n. 3, 2015, E70-80, DOI: 10.1086/679576

[4] Шитиков В.К., Зинченко Т.Д., Головатюк Л.В. МОДЕЛИ МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНТРОПИИ И ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДОВ ДОННЫХ СООБЩЕСТВ НА ТЕРРИТОРИИ СРЕДНЕГО И НИЖНЕГО ПОВОЛЖЬЯ // Российский журнал прикладной экологии, № 2, 2021, DOI: 10.24852/2411-7374.2021.2.10.16

Современная теория игр зародилась в 1944 году, когда Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн опубликовали труд "Теория игр и экономическое поведение". Это была революция в экономике: впервые кто-то начал рассматривать влияние индивидуальных решений на общие результаты. Теория игр позволила анализировать не только поведение рынков, но и все ситуации, где действия одного человека зависят от выбора другого. И это не просто математика. Это инструмент для понимания сложных процессов в мире. Представьте капитана, стоящего на мостике корабля. Компас показывает направление, а карта указывает опасные воды. Аналогично, теория игр даёт нам "компас" для анализа ситуации и "карту" для избежания ошибок.

Что такое игра?

Игра — это любая ситуация, где несколько игроков принимают решения, влияющие друг на друга. У каждой игры есть три ключевых элемента:

1. Игроки: участники, принимающие решения.

2. Стратегии: возможные действия игроков.

3. Выгоды (или убытки): последствия, которые игроки получают в зависимости от выбранных решений.

Эти элементы можно встретить повсюду: от международных переговоров до бытовых сделок в супермаркете. Но как теория игр помогает понять, как лучше всего действовать в таких ситуациях?

Чтобы проиллюстрировать основы теории игр, представьте гипотетическую ситуацию: у вас и ещё сотни участников есть по кнопке и по 10 000 рублей. Если вы нажимаете кнопку, каждый другой участник теряет 200 рублей. При этом, если и другие принимают решение нажать, то вы сократите собственные потери вдвое. Решите ли вы нажать на кнопку? Этот простой пример прекрасно демонстрирует основные понятия теории игр: рациональность, стратегии и последствия.

Последовательные и одновременные игры

Существует два типа игр:

1. Последовательные игры, где участники действуют поочерёдно. Например, торговля акциями, где один инвестор реагирует на действия другого.

2. Одновременные игры, где решения принимаются одновременно, как при конкуренции двух компаний за долю рынка. Здесь каждый вынужден гадать о возможных шагах противника в момент собственных действий.

В последовательных играх важно предугадывать шаги противника. В одновременных играх — учитывать возможные действия другого игрока в момент принятия решения. Например, в задаче о цене продукта, продавец выбирает между низкой и высокой ценой, а покупатель — покупать или нет. Выбор каждого зависит от ожиданий относительно действий другого. Всегда предполагается, что игроки действуют рационально, то есть стараются получить максимальную выгоду.

Теория игр — это не просто про выигрыши и проигрыши. Она про то, как люди взаимодействуют и как можно предугадать их решения, влияющие на общий исход.