Найдите положительное число, которое образует гармоническую прогрессию вместе со своей целой и дробной частями.

🥇 Золото — у всех! Российская сборная блистательно выступила на Международной олимпиаде по биологии в «Сириусе»: все участники завоевали золотые медали, а Макар Рощин из Новосибирска стал абсолютным победителем состязаний.

https://t.me/vremyavperedrus/5814

Назовём натуральное число васильковым, если его можно разбить на два натуральных слагаемых таким образом, чтобы произведение этих двух слагаемых было факториалом.

Перед вами все васильковые числа, не превышающие 100:

2, 3, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 23, 25, 26, 29, 34, 43, 54, 56, 58, 61, 62, 63, 72, 82, 89, 98.

а) Как вы успели заметить, до сих пор мы не встретили ни одного числа, которое делится на 4, но не делится на 8. Тем не менее таких чисел в этой последовательности бесконечно много. Докажите это.

б) Докажите, что для каждого натурального n найдётся бесконечно много васильковых чисел, у каждого из которых ровно n двоек в разложении на множители.

Дождливая Аня выписала в ряд несколько (более одного) натуральных чисел, каждое из которых, кроме первого, отличается от предыдущего либо на 10, либо в 7 раз. Сумма всех выписанных чисел равна 21. Какое наименьшее количество чисел могла выписать Дождливая Аня?

Ганнуська записала натуральне число N. Після цього Олеся записала половину, третину, чверть, одну п’яту, одну шосту, одну сьому та одну восьму числа N. Виявилося, що сума всіх записаних чисел є цілим числом. Яке найменше число могла записати Ганнуська?

Аня записала натуральное число N. После этого Олеся записала половину, треть, четверть, одну пятую, одну шестую, одну седьмую и одну восьмую числа N. Оказалось, что сумма всех записанных чисел является целым числом. Какое наименьшее число могла записать Аня?

Докажите, что никакую степенную башню из пятёрок (даже из одной) нельзя представить в виде суммы кубов нескольких подряд идущих целых чисел.