Дождливая Аня написала в своей тетради 40 натуральных чисел, использовав для этого ровно 57 цифр. Оказалось, что ровно 24 из написанных Аней чисел содержат цифру 1, а ровно 25 содержат цифру 3.

Докажите, что Аня написала хотя бы одно простое число.

Расставьте в записи 9-3*4+20:5-1+2 скобки так, чтобы получился наименьший возможный результат.

Какое наибольшее количество чисел может быть в последовательности, в которой все числа являются квадратами натуральных чисел и каждое следующее число получается из предыдущего приписыванием к нему слева одной цифры?

Назовём натуральное число дождливым, если оно на 2 больше некоторого простого числа. Пару дождливых чисел назовём золотой, если и сумма, и разность чисел в этой паре также являются дождливыми числами (разность берётся со знаком "плюс"). Найдите все золотые пары и докажите, что других нет.

Трискайдекафобия под зонтами

Дождь сыпал лениво, будто устал. Аня шагала босиком по мокрому асфальту, слушая, как шлёпают по лужам её собственные мысли. Настя — та, что боится числа тринадцать, как боятся прощений, которых не будет, — всё шла рядом, прикусывая губу. Наконец решилась:

— Аня… а какое самое большое тринадцатизначное число делится на 13, если каждая цифра в нём встречается не больше двух раз?

Аня не ответила сразу. Она смотрела, как капли сливаются на стекле остановки, и вдруг — будто услышала музыку изнутри этого вопроса — улыбнулась и сказала:
— Знаешь, я уже знаю. Без калькулятора. Без программы.

А вы?

Применяя знаки арифметических действий и скобки, Дождливая Аня записала девятью девятками число 205. Как она это сделала?

Шесть шляп расставлены вдоль окружности, причём в любых двух из них сидит разное ненулевое количество кроликов. Назовём двух различных кроликов соседями, если они сидят либо в одной и той же шляпе, либо в соседних. Оказалось, что у каждого кролика есть либо ровно 17, либо ровно 27 соседей. Приведите пример, как такое может быть возможно.