Давно уже учёные задавались вопросом: почему в музыкальной октаве семь основных звуков — столько же, сколько цветов в спектре солнечного света. Еще ничего не зная о природе звуков, человек интуитивно подстраивал струны так, чтобы они создавали благозвучие. Пифагору принадлежит математическое объяснение основ гармонии; по его определению, наиболее естественно воспринимаются человеком частоты, которые находятся между собой в простых числовых отношениях. Вот откуда и отношение частот в октаве 1:2, и благозвучное трезвучие с отношением частот 4:5:6. Уменьшая последовательно длины струн, мы получим природный звукоряд из 16 звуков, но почему же древние музыканты приняли звукоряд, состоящий из семи основных звуков, и лишь позже добавили еще пять дополнительных (так появились черные клавиши в пианино).

По свидетельству историков, древнейшая греческая лира (Орфея) имела четыре струны. Первая струна - основа, у второй струны число колебаний относится к числу колебаний первой струны как 4: З (как у катетов «священного» египетского треугольника). Это кварта основного тона. Число колебаний третьей струны по отношению к основному тону равно З:2, это — квинта основного тона. Четвертая струна — октава, число колебаний у неё в два раза больше, чем у основы (как отношение катетов в треугольнике 1:2:√5).

Значительно позже появилась семиструнная греческая гамма, являющаяся развитием музыкального четырёхструнного строя. В семиструнной гамме отношение частот рядом расположенных звуков равно 1,12 (например, ре/до — 294/262; соль/фа = 392/349). Но очень близкое отношение имеют стороны треугольника 1:2:√5, оно равно √5/2 = 1,118 ≈ 1,12.

Естественно возникает вопрос: не явились ли закономерности в геометрии прямоугольного треугольника со сторонами 1:2:√5 основой для разработки музыкальной гаммы? Если же связь сторон треугольника и отношения частот звуков в семиструнной гамме не случайна, то в таком случае построение музыкальной гаммы связано и с золотой пропорцией. Однако трудно допустить, что музыкальная гамма явилась итогом «научной разработки», более вероятно, что она была найдена эмпирическим путём, на основании интуиции музыкантов. Об этом свидетельствует и сообщение, недавно опубликованное в печати.

Описана интересная находка у местечка Рас-Шамра в Сирии. Здесь обнаружена глиняная табличка с музыкальной записью старинной песни. По мнению учёных, эта запись сделана... в XIV столетии до н. э., то есть за девять столетий до Пифагора.

Изучая 20 загадочных отшлифованных базальтовых камней, найденных в восточном индийском штате Орисса, немецкий археолог Пауль Юле пришел к выводу, что это не что иное, как самый древний музыкальный инструмент. По мнению учёного, эти камни являются остатками древнего ударного инструмента, похожего на ксилофон. Эти камни, по-видимому, были уложены горизонтально в деревянном корпусе. Когда звуки, издаваемые камушками при ударе, записали на магнитофон и измерили их частоту, получили «каменный звукоряд». В полном составе звукоряд каменного ксилофона охватывал четыре октавы с семью целыми тонами от до до си и пятью полутонами. Следовательно, изобретатели этого древнейшего музыкального инструмента, созданного не раньше, чем за две тысячи лет до н. э., уже пользовались октавой, состоящей из семи основных звуков... за 15 столетий до Пифагора! Они применяли и звукоряд из семи основных звуков и пяти полутонов, известный как «темперированный звукоряд», который во- шел в практику классической музыки со времен И.-С. Баха. И когда вы посмотрите на белые и чёрные клавиши рояля, вспомните о далёких создателях базальтового ксилофона.

Значение работ Пифагора по научному объяснению основ музыкальной гармонии трудно переоценить. Это была первая научно обоснованная теория гармонии в музыке. Познав истинность и красоту своей музыкальной теории, Пифагор пытался распространить её на космологию; по его представлениям, и планеты Солнечной системы располагались в соответствии с музыкальной октавой. Эта гипотеза Пифагора не потеряла своей привлекательности и в более поздние времена. Так, в XVII веке поэт Джон Драйден писал:

Во всём царит гармонии закон, и в мире всё суть ритм, аккорд и тон.

Анализ гармонии в музыке не исчерпывается установлением закономерностей звучания в гамме, изучением природы благозвучных аккордов. Интересно было определить природу прекрасного в произведениях великих композиторов, определить, в чем причина их привлекательности. эстетической ценности.

Более 30 лет отдал изучению закономерностей гармонии в музыке и природе композитор М. Марутаев. Он разработал концепцию универсальной гармонии, определяющим элементом которой является выявление единых числовых характеристик — общих как для природы, так и для музыки. М. Марутаев ввёл понятие о нарушенной симметрии и получил «основные числа нарушенной симметрии (Sн)»: 0,713; 0,718; 0,729 и т. д. до 0,992. Мерой нарушения симметрии композитор считает величину 2^(5/11) равную 1,37035..., которая, по его мнению, выражает сущность гармонии. Физикам хорошо знакомо полученное М. Марутаевым число — ведь оно в первых шести знаках совпадает с величиной hc/e = 1,3703598*10^2 (где h постоянная Планка, с - скорость света, е - заряд электрона). Эта величина известна в физике как одна из фундаментальных констант природы.

Всё это очень интересно и достойно удивления, но при чем здесь музыка, может спросить читатель? Оказалось, что во многих музыкальных произведениях, изученных М. Марутаевым, соотношения частей отвечают числам нарушенной симметрии (Sн), а после их математического преобразования получается величина 1,37 — мера гармонии природы.

Теорию «нарушенной симметрии» М. Марутаев использовал для анализа музыкального темперированного звукоряда, в котором интервал между двумя до разбит на 12 частей. Центром симметрии здесь является √2. После исключения из ряда числа 2 была получена усредненная величина нарушенной симметрии, равная 1,37. Таким образом, считает М. Марутаев, установлена связь звукоряда с мировой физической константой. Путём математических преобразований композитор установил также связь золотой пропорции со значением малой секунды, равной 2^(1/12)= 1,059.

Если выводы М. Марутаева будут подтверждены дальнейшими исследованиями и найдут признание, можно будет утверждать, что природа формулирует свои законы (если не все, то некоторые) на языке музыки.

В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлёта», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед Л. Мазель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, то есть находится в точке золотого сечения. По мнению Л. Мазеля, число подобных восьмитактов, где подъем мелодии занимает пять тактов, а последующий спуск — три, необычайно велико; их можно без труда найти почти у каждого автора, сочинявшего музыку в гармоническом стиле.

Очевидно, такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом её гармонической композиции, придающим художественную выразительность и эстетическую эмоциональность мелодии. Рисунок мелодии строится по схеме: длительный период нарастания эмоционального напряжения, затем остановка и после — более краткий период спада. Может быть, ощущение гармонии такой композиции имеет психофизиологическую основу. Ведь и сердечная деятельность человека (а ведь сердце считается «вместилищем» чувств), и пульсация крови в сосудах тела полчинены такой же асимметричной ритмике, основанной на золотой пропорции. В конечном итоге музыка только тогда доставляет эстетическое, эмоциональное удовлетворение, когда гармония мелодии входит в резонанс с внутренней гармонией человека.

Характерно, что в некоторых случаях авторы музыкальных произведений смещали их вершину от точки золотого сечения, что придавало мелодиям неустойчивый характер. По мнению Л. Мазеля, это входило в намерения авторов, например, при сочинении скерцо, рондообразных финалов.

Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л. Сабанеевым. Им было изучено 2000 произведений различных композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Такими вехами могут быть границы изменения структуры мелодии, интонационные кульминационные пункты (как положительные, так и отрицательные), изменения тональности и т. д. Все эти музыкальные события делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения.

По наблюдениям Л. Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, сопряжённое с происходящим возле него «эстетическим событием», а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает своё музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91 %), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

Наиболее детально были изучены Л. Сабанеевым все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трёх этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдаются проявления золотой пропорции.

Интересно, что в этюдах Шопена проявляется не одно выражение золотой пропорции, а целый ряд величин, связанных этим отношением: 0,618; 0,382; 0,236; 0,146; 0,090 и 0,058; реже встречались 0,854; 0,764 и 0,472. Первый ряд из шести чисел образует геометрическую прогрессию с показателем, равным 1,618, а три других числа являются производными золотой пропорции (0,764 ÷ 0,472 = 1,618). Мелодия как бы растёт и развивается, подчиняясь закону золотой пропорции.

Характерно, отмечает Л. Сабанеев, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов? И тогда вместо споров о достоинствах той или иной музыки достаточно произвести математический подсчёт? И уже не представляется случайным тот факт, что в произведениях композиторов ХX века золотая пропорция встречается значительно реже, чем у их коллег прошлых веков.

В спорах о достоинствах современных музыкальных творений часто ссылаются на банальный афоризм: «На вкус и цвет товарища нет», на непонимание «старыми» ценителями новаторской музыки сегодняшнего дня, ссылкой на то, что нашему времени отвечает рок-музыка и т. п. Не будем разжигать страсти, «поверим алгеброй гармонию», проверим современные музыкальные шедевры рок-ансамблей и им подобных новаторов на критерии гармонии. И тогда можно дать вполне объек- тивную оценку современной «новаторской» музыки. Не слишком ли часто люди ищут «новое», вместо того, чтобы искать «вечное» — гармонию и красоту?

Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения. Тогда логично предположить, что чем точнее соответствие произведения музыки золотой пропорции, тем выше степень гармонии, а отклонение от золотой пропорции — свидетельство несовершенства музыки.

Но не будем спешить с таким заключением. В искусстве часто отклонения от правила не менее ценны, чем само правило. Не следует забывать, что золотое сечение — иррациональная величина и ее невозможно выразить отношением целых чисел. А ведь мы замеряем размер частей в целом по числу тактов и выражаем их в целых числах. Л. Сабанеев считает, что это противоречие снимается, если учесть, что «живое музыкальное произведение никогда не идёт точно метрически, его метрическая координата никогда не «пропорциональна» реальному времени. И темп музыки не является постоянной величиной, а переменной функцией метрического времени». Варьируя нюансами темпа, композитор может добиться точного соответствия структуры музыкального произведения золотой пропорции.

Не в этом ли заключен секрет исполнительского мастерства музыкантов, достижения лишь немногими из них наибольшей выразительности, наибольшей силы эмоционального воздействия при использовании одной и той же нотной записи? Деформируя темп исполнения произведения в его различных частях, исполнитель реализует особенности своего исполнительского мастерства и добивается наивысшего успеха, приближаясь при этом и, в частности, к точному соответствию золотой пропорции.

Источник: "Золотая пропорция" Н.А. Васютинский, 1990 г.

Если тема интересна, то есть ещё неплохая статья про математику в музыке: Арифметика музыки | Юный техник 1981-06