Ответ на пост «Вдогонку теме про аборты»3
Тут в комментариях начали обсуждать, что есть скрининги, которые показывают синдром Дауна и всё так хорошо, делай тест, да не рожай себе детей с такими заболеваниями.
Такие исследования действительно есть, но важно помнить, что показывают они вероятность родить ребенка с синдромом Дауна.
И, казалось, вероятность самых инновационных тестов 99.9% — красота! А вот нет.
Какова вообще вероятность, что у ребенка будет синдром Дауна?
Для примера взяла значения из википедии[1]. Нам не нужна сильная точность, достаточно понимать порядок.
Вероятность эта зависит от возраста: "вероятность синдрома возрастает в зависимости от возраста матери — с менее чем 0,1 % в 20-летнем возрасте до 3 % в 45-летнем — и отца".
Но как считать такие вероятности? Подобные задачи (например, какова вероятность встретить пинглина, при условии, что вы на Северном полюсе) — это всё так называемые условные вероятности, которые отлично описал Томас Байес.
А теперь немного теоремы Байеса:
P(B) — вероятность положительного теста
P(A_1) — вероятность, что ребёнок действительно болен
P(A_2) — вероятность, что ребёнок не болен
P(B|A_1) — вероятность положительного теста при условии, что ребёнок действительно болен
P(B|A_2) — вероятность положительного теста при условии, что ребёнок не болен
Мы хотим посчитать вероятность, что ребенок болен и при условии положительного теста. Т.е. P(A_1|B)
По формуле Байеса:
P(A_i|B) = P(B|A_i)P(A_i) / P(B)
P(B) = Сумма произведений P(B|A_i)*P(A_i)
Давайте рассмотрим два варианта.
***
Первый, где мать молодая и вероятность родить ребенка с синдромом Дауна составляет, пусть будет 0.5% (где-то для тридцатилетних, получается).
P(B) — вероятность положительного теста = P(B|A_1)*P(A_1) + P(B|A_2)*P(A_2)
P(A_1) — вероятность, что ребёнок действительно болен = 0.005 (т е 0.5%)
P(A_2) — вероятность, что ребёнок не болен = 0.995 (полная вероятность всегда равна 1, поэтому 1-0.005 = 0.995)
P(B|A_1) — вероятность положительного теста при условии, что ребёнок действительно болен = 0.999 (т е 99.9%)
P(B|A_2) — вероятность положительного теста при условии, что ребёнок не болен = 0.001 (т е как часто тест ошибается)
Теперь посчитаем вероятность положительного теста:
P(B) = P(B|A_1)*P(A_1) + P(B|A_2)*P(A_2) = 0.999*0.005 + 0.001*0.995 = 0.0059
Все величины у нас есть, теперь можем посчитать, какова вероятность, что ребенок имеет синдром Дауна при условии положительного результата теста (который, напомню имеет точность 99.9%).
P(A_1|B) = P(B|A_1)*P(A_1) / P(B) = 0.999*0.005/0.0059 = 0.846 = 85%
Т.е. 15 из 100 детей в действительности будут здоровы, когда тест показал обратное.
***
Второй вариант:
P(A_1) = 3% = 0.03
Тогда P(A_2) = 0.97
И
P(B) = P(B|A_1)*P(A_1) + P(B|A_2)*P(A_2) = 0.999*0.03 + 0.001*0.97 = 0.03094
Следовательно
P(A_1|B) = P(B|A_1)*P(A_1) / P(B) = 0.999*0.03/0.03094 = 0.968 = 97%
Тут ситуация уже лучше, т к только 3 ребенка из 100 будут здоровы, когда тест показал обратное.
Заключение:
Тема с абортами вообще непростая. И если так случилось, что вам или вашим знакомым сказали, что ребенок будет с синдромом Дауна (или каким-либо ещё заболеванием, мы ведь понимаем, что от названия болезни принцип расчётов не измениться, только значения вероятностей), не пренебрегайте делать дополнительные тесты.
Ведь с количество тестов мы уменьшаем вероятность ошибки (это тоже можно посчитать, но возможно позже, если будет актуально).
Всем хорошего дня.
P.S. Вроде везде проверила, правильность порядков (что 0.5% это 0.005, например), но если найдёте ошибки, напишите пожалуйста.
