Plexator

Зачем вообще нужны аксиомы? Их необходимость вытекает из ограничений, которые накладывает логика. Логика - это инструмент, позволяющий делать выводы об истинности суждений на основе знаний об истинности других суждений. Например, мы знаем, что медь - металл и что все металлы проводят электрический ток, и на основании этого можем сделать вывод, что медь проводит электрический ток. А смогли бы мы сделать такой вывод, если бы не знали, что медь - металл? Нет, у нас не было бы базы для нашего вывода. Поэтому, прежде чем мы сделаем свой первый логический вывод, мы должны иметь какие-то утверждения, в истинности которых мы не сомневаемся. И ещё древние греки решили, что есть утверждения, слишком очевидные, чтобы их доказывать. У них это относилось только к геометрии, но сейчас аксиомы используются во всей математике, а также в естественных науках.

Сначала рассмотрим только аксиомы в математике, к естественным наукам я вернусь чуть позже. Главное отличие математики от естественных наук - то, что она работает исключительно с абстрактными понятиями, существующими лишь в уме. Поэтому в математике не может быть такого вопроса: а как оно на самом деле? Нет никакого "на самом деле", что придумаем, с тем и будем работать. Например, в рамках математики нельзя поставить вопрос о том, какова размерность пространства на самом деле: одномерные, двумерные, трёхмерные, миллионмерные и даже бесконечномерные пространства в математике имеют равные права на существование. И то, что наблюдаемое нами пространство имеет ровно три измерения (по крайней мере, в масштабах, доступных нашим измерениям), математику никак не ограничивает - ей дела нет до того, как устроен реальный мир и даже до того, существует ли он вообще.

Эта мысль доходила до человечества долго, многие поколения математиков полагали, что математические понятия столь же реальны, как и физические объекты, ну разве что существуют в каком-то идеальном мире. Но в конце концов всё-таки поняли, что это не так, и это тоже существенно повлияло на понимание того, что такое аксиома.

Хотя греки на словах и считали аксиомы абсолютно очевидными, некоторые сомнения в этом были и у них. Здесь показательна история так называемого пятого постулата Евклида (Евклид делил утверждения, принятые без доказательств, на аксиомы и постулаты, но для нас сейчас эта разница несущественна - в современной математике это всё называется аксиомами). В переводе на современный язык этот постулат звучит так: "Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну". Видимо, у Евклида существовали какие-то сомнения в правильности этого утверждения, потому что он сначала доказал 22 "чистых" теоремы, для которых это утверждение не требуется, а потом только добавил этот постулат.

Сомнения Евклида понятны: это утверждение могло бы быть по-настоящему очевидным только в том случае, если бы мы могли обозреть прямые от одной бесконечности до другой и убедиться, что пересечений действительно нет. Но так как мы имеем дело только с небольшими кусками прямых, возникают подозрения, что вдруг они всё-таки когда-то пересекутся? Или, наоборот, можно провести одну параллельную прямую, а потом через точку другую прямую, под таким маленьким углом к первой, что она тоже никогда не пересечётся с данной прямой?

Этим вопросом так или иначе интересовались многие последователи Евклида, но задача долгое время оказывалась математикам не по зубам. С мёртвой точки дело сдвинулось, когда этим занялся Николай Лобачевский. Он предположил, что это утверждение - не аксиома, а теорема, т.е. его можно доказать на основании остальных аксиом. И для доказательства он пытался использовать метод "от противного". Напомню, что при доказательстве от противного предполагают, что то, что хотят доказать, на самом деле ложно, после чего доказывают, что в этом случае с необходимостью возникает какое-то очевидное противоречие. Наличие противоречия является доказательством того, что исходное утверждение на самом деле истинно. Лобачевский предположил, что через точку можно провести две различных прямых, параллельные данной, и всю оставшуюся жизнь пытался прийти к какому-то противоречию, но так и не пришёл.

Лобачевский, к сожалению, умер, не успев понять всю важность своего открытия. Но позже было найдено сразу два пространства, которые описываются геометрией Лобачевского. Более того, эти пространства являются подмножествами евклидова пространства. Это значит, что любое утверждение из геометрии Лобачевского мы можем "перевести" на язык геометрии Евклида, причём истинное утверждение при таком переводе останется истинным, а ложное - ложным. А теперь самый важный вывод из этого: если бы геометрия Лобачевского была ошибочной, это означало бы, что в ней можно доказать два утверждения, которые являются взаимоисключающими. Но так как доказательство - это тоже последовательность утверждений, оно тоже переводится на язык евклидовой геометрии, и это означало бы, что и в евклидовой геометрии мы бы доказали два взаимоисключающих утверждения. Другими словами, если геометрия Лобачевского содержит ошибку, то и геометрия Евклида тоже содержит ошибку.

Придя к такому неожиданному выводу, математики начали постепенно понимать, что аксиома - это что-то не совсем то, что они раньше думали. Имеем две теории, которые противоречат друг другу, но при этом обе правильные - как такое вообще может быть? И вот тут, наконец, стало приходить понимание, что математика совершенно оторвана от реального мира, поэтому правильность теории с математической точки зрения - это только отсутствие внутренних противоречий (ну и, конечно, отсутствие ошибок при выводе теорем), а никакого глобального критерия того, что теория правильна "вообще" нет и быть не может. Поэтому правильность геометрии Евклида не отменяет правильности геометрии Лобачевского, и наоборот.

Наверное, это сложно понять сразу. Всё-таки, через точку можно провести только одну параллельную прямую или целых две? Чтобы понять это, зайдём немного с другой стороны.

Вы, наверное, привыкли, что в математике всему даются строгие определения. Возможно, вы из школы помните, что отрезок - это множество всех точек прямой, лежащих между двумя различными точками этой прямой, треугольник - это фигура, ограниченная отрезками, попарно соединяющими три различные точки, не лежащие на одной прямой, а окружность - это множество всех точек, равноудалённых от данной точки. Но можете ли вы вспомнить определения точки и прямой? Это вряд ли, потому что таких определений нет ни в школьных учебниках, ни в более серьёзных работах.

Дело в том, что с определениями мы попадаем в ту же ловушку, в которую чуть раньше попали с логически доказываемыми утверждениями: определения даются через уже известные определения, и где-то надо остановиться. Геометрия (обычная, не аналитическая) останавливается как раз на точке и прямой - у них нет явных определений.

Но если у них нет определений, то как мы можем с ними работать? Я не зря сказал, что нет именно явных определений - ведь определить-то можно и неявно. Аксиомы, собственно, и являются этими определениями: точка и прямая - это такие объекты, которые обладают следующими свойствами - и дальше смотри список аксиом, в них всё написано. Правда, утверждения относительно свойств точек и прямых (а также ряда других понятий, используемых в геометрии) там переплетены так, что невозможно отделить одно от другого, но это не мешает делать выводы о каких-то других свойствах этих объектов, т.е. доказывать теоремы.

Теперь ответ на вопрос о том, сколько параллельных прямых можно провести через точку, становится ясен. У Евклида и у Лобачевского разные наборы аксиом, а значит, разные определения точки и прямой. Другими словами, точка и прямая у Евклида - это не то же самое, что точка и прямая у Лобачевского. Поэтому для точек и прямых Евклида будет только одна параллельная прямая, а для точек и прямых Лобачевского - две. Так что на самом деле никакого противоречия, просто поменяли определение.

Таким образом, в математике аксиомы - это просто определение того, с какими объектами мы работаем. Вопрос об истинности или ложности в этом случае вообще не стоит. Вы же не будете доказывать или опровергать определение окружности - это всего лишь определение. То же самое и с аксиомами - это не какая-то абсолютная истина, это просто определения, принятые в данной теории.

Теперь перейдём к естественным наукам. В идеале естественнонаучная теория строится так же, как математическая, т.е. задаётся набор аксиом и выводы из них. Но так как стоит задача описать реальный мир, то аксиомы должны браться из экспериментов.

Здесь возникает некоторое противоречие: в основу теории надо положить как можно более общие утверждения, чтобы сделать как можно больше выводов, а эксперимент всегда конкретен. Галилей сбрасывал с Пизанской башни не камень вообще, а какие-то конкретные камни. Они падали у него за одно и то же время, из чего он сделал вывод, что время падения не зависит от массы вообще. Имел ли Галилей право на такой вывод? Ведь масса камней, участвовавших в эксперименте, была ограничена возможностью затащить их на башню. А если сбросить камень массой сто миллионов тонн - вдруг он упадёт за другое время? А если нам каким-то чудом удалось сбросить камень в сто миллионов тонн - вдруг камень в сто миллиардов тонн всё-таки полетит по-другому? А вдруг дело не в массе, а в материале, и шары из базальта полетят не так, как шары из гранита? Короче, выводы из эксперимента - это всегда некоторое обобщение, которое делается на основе ограниченного числа экспериментов, поэтому каждый такой вывод потенциально может быть ошибочным, но мы об этом не узнаем, пока не наткнёмся на эксперимент, который вступит в противоречие с этим выводом. А обобщения, в свою очередь, можно обобщать и дальше - например, когда-то в механике на основании изучения движения тел был сделан вывод о существовании закона сохранения энергии, и это стало аксиомой, но потом обнаружилось, что этот закон (а заодно многие другие) можно доказать, если ввести аксиому об однородности времени. Другими словами, аксиомы в естественных науках - это обобщения наиболее высокого на данный момент уровня, те утверждения, которые ещё не смогли обобщить дальше. После этого из данных аксиом строится теория точно так же, как в математике.

Если обобщения получились удачными (а другие быстро забываются), то они не только объясняют ранее сделанные эксперименты, но и предсказывают результаты ещё не сделанных. Значит, надо их по возможности сделать и проверить - вдруг угадали. Пока угадываем, аксиомы считаются правильными, как только получили результат, противоречащий теории - всё, эти аксиомы сломались, несите новые.

Я, конечно, нарисовал идеальную картину, потому что на самом деле от момента, когда мы понимаем несостоятельность теории, до момента, когда мы можем предложить ей замену, может пройти немало времени, и всё это время нужно как-то жить. Сейчас, например, понятно, что теория относительности безнадёжно лажает при попытке описать микромир, а квантовая механика - при попытке описать гравитацию, т.е. обе этих теории на концептуальном уровне ошибочны и должны быть заменены более продвинутой теорией, лишённой этих недостатков. Но пока у нас нет этой теории, мы продолжаем пользоваться тем, что есть, стараясь по возможности не выходить за пределы применимости. А это значит, что мы прекрасно осознаём ошибочность заложенных в эти теории аксиом, но, за неимением лучшего, в рамках применимости делаем вид, что всё в порядке, не забывая при этом по возможности проводить исследования, которые дадут нам возможность придумать искомую теорию.

Напоследок - краткие выводы-напоминания. В математике аксиомы - это, по сути, определения, которые мы даём тем сущностям, которые собираемся использовать в теории. Именно поэтому аксиомы в математике принимаются без доказательств - определения ни в каких доказательствах в принципе не нуждаются, доказывать можно только то, что аксиомы одной теории не противоречат друг другу. Аксиомы из разных теорий без проблем могут противоречить друг другу - просто в теориях используются разные определения, ничего страшного.

Аксиомы в естественных науках - это самые лучшие обобщения, до которых нам удалось додуматься на данный момент. Частично подтверждаются экспериментами, но не считаются абсолютной истиной, каждый вменяемый учёный держит в голове мысль, что вновь открывшиеся факты могут опровергнуть любую из этих аксиом.

Поп в поэме выглядел дебилом.
Церковь — некультурна и тупа.
Сколько непочтительности было
в жизнеописаниях попа!

А поэт ещё добавил грязи
в откровенном кризисе идей:
описал финансовые связи
с бандформированием чертей!

И в финале от удара по лбу
этот поп совсем безумным стал.
Ты бы, Пушкин, блоги лучше вёл бы.
Или книжки умные читал.

Вот в какие «творческие выси»
был поэт болезненно влеком!
И в итоге мы имеем высер,
говоря приличным языком.

Осрамился перед всей отчизной,
показав бездарность вместе с тем.
Не гонялся б ты за дешевизной
конъюнктурных и чернушных тем!

Ишь, насочинял, роняя слюни,
пачкая простой бумажный лист.
Прямо как какой-нибудь Акунин —
злобный и бездарный оранжист.

Ты зачем под видом эвфемизмов
впариваешь, гражданин поэт,
несомненный признак экстремизма
в каждый зарифмованный куплет?

Возбуждая этим в общей массе
(той, что называется толпа)
ненависть к определенной рясе
и иному признаку попа?

Эта провокация поэта
выглядит, как я судить могу,
типа одиночного пикета —
только у читателя в мозгу.

А ведь где бы ни произносили
эти экстремистские слова,
есть у нас статья УК России:
номер двести восемьдесят два.

Можно получить на всю катушку,
если кто об этом сообщит.
От таких, как ты, товарищ Пушкин,
изолятор следственный трещит.

Вреден, некрасив и непотребен,
и реально кончится бедой
этот твой, простите, панк-молебен —
о попе с работником Балдой.

Просто надо думать головою.
Чтоб не оказаться вдруг, шутя,
там, где буря мглою небо кроет,
вечно вихри снежные крутя.

Потому что церковь — не игрушка.
Сам потом завоешь от тоски:
няня, — скажешь, — няня, где же кружка,
миска, ложка, паспорт и носки?

Так что в рамках действующих правил
в наш терпимый толерантный век
Пушкина как следует поправил
компетентный в этом человек:

Чтоб в сюжете не было агиток,
чтоб из текста исключить вражду,
чтоб как Бхагавад, простите, Гиту
Томский суд не расценил Балду.

В целом сохранилась вся интрига
и нетронут авторский сюжет.
Но теперь исправленная книга
сможет без проблем увидеть свет.

Правок было внесено немного:
только криминал исправить чтоб.
Черти превратились в бандерлогов.
Стал герой Навальный, а не поп.

Попадья, попёнок и поповна
в этой новой версии другой
превратились в блогеров, дословно:
Alex Exler, Dolboeb, Drugoi...

А взамен героя-шарлатана
с некрасивым именем Балда —
шесть мигрантов из Таджикистана
с биржи соискателей труда.

И немножко их родных и близких.
Все, конечно, с визой годовой.
Все, конечно, с временной пропиской.
Все, конечно, с книжкой трудовой.

С медицинской книжкой, также чистой
от туберкулёза и чумы:
эти правки с грамотным юристом
долго согласовывали мы.

А назвали: «Сколково и Путин»,
этим самым в корне превратив
книгу, хулиганскую по сути,
в яркий федеральный позитив.

И настолько книга лучше стала,
что людей потянет как магнит!
И к началу съёмок сериала
Пушкин будет просто знаменит.

Самый верхний уровень современной классификации - это надцарство. Надцарств три: бактерии, археи и эукариоты. Бактерии и археи относятся к безъядерным (прокариотам), т.е. у них отсутствует ядро, в котором находится наследственная информация, молекулы ДНК, грубо говоря, просто свободно плавают внутри клетки. Внешне бактерии и археи довольно похожи. Первые археи были открыты ещё в 1930-х годах, но разделили эти группы организмов только в 1976 году, до этого археи считали разновидностями бактерий. Исследования показали, что химически бактерии и археи довольно сильно различаются, например, их клеточные оболочки построены из разных веществ. Изучение эволюции на химическом уровне привело к пониманию, что одно не могло произойти от другого, бактерии и археи развивались параллельно и просто пришли к внешне похожим результатам.

У эукариотов (ядерных) ДНК собрано в специальной клеточной структуре - ядре, отделённой от остальной клетки специальной оболочкой. Клетки эукариотов значительно крупнее, чем клетки бактерий и архей, и могут иметь более сложную форму. Кроме того, они могут соединяться друг с другом, образуя один организм. Все многоклеточные существа - эукариоты. Полного понимания того, как появились эукариоты, ещё нет. Сходство клеточной оболочки эукариотов с клеточной оболочкой архей приводит к мысли, что эукариоты произошли от последних. На этом сходстве, кстати, основано действие некоторых антибиотиков: они разлагают клеточные оболочки бактерий, но безопасны для оболочек архей и эукариотов (болезнетворных архей, насколько мне известно, пока не обнаружили). Что касается ядра, то оно очень похоже на открытые в 2010 году мегавирусы - огромные (по сравнению с другими вирусами) вирусы со сложной оболочкой, защищающей их ДНК. По одной из теорий, эукариоты - это организмы, которые получились в результате заражения таким вирусом архей. Но это только одна из гипотез, общепринятого мнения на этот счёт ещё не сложилось.

Что касается вирусов, то они не попадают ни в одно из названных надцарств, и вообще, до сих пор ведутся споры, можно ли их назвать живыми организмами, или же это просто сложные химические структуры. Вирус не способен к самостоятельному питанию, размножению и вообще обмену веществ, он слишком примитивен для этого. Но, попав в живую клетку, вирус изменяет химические реакции в ней таким образом, что вместо нормального функционирования клетка начинает производить копии вируса.

Некоторые бактерии научились синтезировать хлорофилл, который даёт возможность фотосинтеза, т.е. разложения углекислого газа на кислород и углерод благодаря энергии света (хлорофилл - это не единственное и не самое эффективное из известных в природе фотосинтезирующих веществ, но "конкуренты" хлорофилла содержат не самые распространённые вещества типа цинка или же не очень устойчивы, поэтому хлорофилл по распространённости на несколько порядков превосходит их). Хлорофилл имеет зелёный цвет, и именно благодаря ему большинство фотосинтезирующих организмов зелёные. Бактерии с хлорофиллом называются цианобактериями, или сине-зелёными водорослями. По самой строгой классификации только их можно называть водорослями, хотя раньше это слово использовалось и для других групп организмов.

Существуют также и эукариоты с хлорофиллом. В них хлорофилл содержится в специальных клеточных структурах - хлоропластах. Хлоропласты достаточно независимы от остальной части клетки, имеют собственные ДНК и самостоятельно делятся. Они во многом похожи на цианобактерии, поэтому считается, что хлоропласты появились в результате симбиоза эукариотической клетки с цианобактериями, в ходе которого цианобактерии утратили свою самостоятельность. Только такие организмы называются растениями, независимо от того, одноклеточные они или многоклеточные. Водорослями такие организмы в современной классификации не называются, даже те виды, которые всю жизнь проводят в воде.

Кроме растений, существуют и другие эукариотические организмы, содержащие хлорофилл. Их называют хромистами. Если растения появились в результате поглощения эукариотической клеткой цианобактерий, то хромисты - в результате поглощения эукариотической клеткой другой эукариотической клетки, с хлоропластами, т.е. растения. К хромистам относятся многие виды, которые традиционно называются водорослями, например, морская капуста (да, вот такой парадокс: по современной классификации морская капуста не является растением). Сейчас термин "водоросли" по отношению к хромистам стараются не употреблять, чтобы не объединять их в одну группу с сине-зелёными водорослями, от которых хромисты сильно отличаются. Классификация хромистов до конца не разработана, потому что существуют ещё и, если можно так выразиться, хромисты второго уровня - те, которые поглотили не растительную клетку, а другого хромиста (обычного). А также хромисты третьего и, по некоторым сведениям, даже четвёртого уровня. Чтобы классифицировать эти организмы, нужны дополнительные исследования.

Кроме того, существуют многоядерные (полинуклеарные) эукариотические клетки, у которых в единой клеточной оболочке содержится не одно, а несколько ядер. Количество таких ядер может достигать нескольких тысяч, а размер одной клетки - нескольких сантиметров. Среди многоядерных организмов тоже есть хлорофиллосодержащие и живущие в воде, которые раньше было принято относить к водорослям. Сейчас от этого тоже отказываются по тем же причинам, что и с хромистами. Существуют как минимум две линии многоядерных: те, в которых одноядерные клетки сливаются в одну многоядерную, и те, в которых в изначально одноядерной клетке начинают размножаться ядра без размножения самой клетки. С этими организмами тоже требуются дополнительные исследования, чтобы их классифицировать.

Короткое резюме. Водоросли - это цианобактерии, и больше никто. Растения - это эукариотические клетки, поглотившие цианобактерии. Даже те растения, которые живут в воде, это не водоросли. Хромисты и хлорофиллосодержищие многоядерные раньше назывались водорослями, но теперь от этого отказываются.

И последнее: помните, что наука - это не набор догм, это система знаний, которая постоянно дополняется и пересматривается в соответствии с новыми данными. Лет через 10-20 то, что здесь написано насчёт хромистов и многоядерных, безнадёжно устареет, их классификация будет уточнена. Может, будет уточнено и что-то другое. Например, может выясниться, что поглощение цианобактерий эукариотическими клетками происходило несколько раз независимо друг от друга, и растения придётся разделить на разные таксоны в зависимости от того, от какой линии они происходят. Так что не полагайтесь на старые знания, если вам интересен этот вопрос, следите за тем, что происходит в биологии.