Из-за этого в математике периодически возникают различные парадоксы, которые не получается решить средствами формальной логики. Когда таких парадоксов становится слишком много, а пути их решения неясны, возникает кризис оснований математики. Так было в конце XIX - начале XX вв. Масло в огонь подлил в 1930-е гг. Курт Гёдель и его теорема о неполноте, согласно которой, система, основанная на арифметике, может быть либо неполной, либо противоречивой, но не может быть одновременно и полной, и непротиворечивой. В наши дни проблема усугубляется развитием теории струн, которая требует такого математического аппарата, который еще не придуман, а существующие математические методы не подходят этой теории в полной мере.

Математика постепенно признает парадоксы и противоречия не чем-то отклоняющимся и ошибочным, но нормой и учится с ними работать. Однако существующей логики по-прежнему недостаточно для этого. Вот что, например, писали математики А.А. Френкель и И. Бар-Хиллел о парадоксе Рассела:

"С самого начала следует уяснить, что в традиционной трактовке логики и математики нет решительно ничего, что могло бы служить в качестве основы для устранения антиномии Рассела. <..> Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшиеся, заведомо недостаточны для этой цели. Некоторый отход от привычных способов мышления явно необходим, хотя место этого отхода заранее не ясно."

В чем заключается этот парадокс Рассела? Данный парадокс относится к математической теории множеств и один из вариантов его формулировки выглядит так. Пусть "K" — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли "K" само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению "K", оно не должно быть элементом "K" — противоречие. Если нет — то, по определению "K", оно должно быть элементом "K" — вновь противоречие. Это противоречивое множество называют "расселовским множеством" (сокращенно РМ). Суть его состоит в том, что РМ - это такое множество, для которого одновременно верны два противоположных утверждения: оно и содержит, и не содержит себя в качестве своего же элемента. Как такое возможно, как это понять и объяснить?

В шутку и для простоты понимания переведем парадокс на более человеческий язык. Назовем такие множества, которые не включают в себя самих себя как свой элемент обычным (например, общество – это обычное множество, оно состоит из людей, но человек - это не общество). А такое множество, которое включает самого себя в качестве своего элемента, назовем необычным (например, множество всех множеств - оно является множеством и состоит из множеств, или какой-нибудь абстрактный интернет-каталог, который описывает разные сайты и сам является сайтом и поэтому описывает и самого себя). Представим, что во Вселенной существует только Бертран Рассел как множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Он состоит из органов - это множества, не содержащие себя в себе как свои элементы: желудок не состоит из желудка, как сердце из сердца - эти органы, которые можно рассматривать как множества, состоят из других элементов (клеток, молекул и т.д.). Тогда является ли Бертран Рассел обычным множеством или необычным? Содержит ли Бертран Рассел себя в качестве своего элемента? Нет, ведь для этого достаточно взглянуть на Бертрана Рассела - он состоит из рук, ног и головы, но не из самого себя. А раз так, то по нашему определению он должен входить сам в себя (ведь Бертран Рассел, по условию задачи, это множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента). Но раз так и он включает себя в себя же, значит он снова противоречит условию задачи (Бертран Рассел - это множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента). Таким образом, "Бертран Рассел" - это одновременно и обычное и необычное множество, чего с точки зрения формальной логики быть не может. 

Возможный вариант решения данного парадокса или хотя бы путь, по которому можно отыскать это решения, находится в диалектике Гегеля. По сути, расселовское множество на языке диалектики представляет собой Для-себя-бытие - бесконечное, постоянно возвращающееся к себе бытие через отрицание нечто к иному и от иного обратно к нечто, ибо иное иного есть иное. Как только мы хотим сказать, что расселовское множество является обычным, то есть оно не содержит себя как свой собственный элемент, мы идентифицируем его как нечто, которое тут же переходит в свое иное, ведь по определению расселовское множество — это множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, а раз РМ не содержит себя, значит оно должно быть частью себя (исходя из определения опять же) - так иное переходит в свою противоположность - в свое иное, то есть обратно в нечто. Для-себя-бытие - это и есть бесконечное движение от нечто к иному и обратно, но на новом уровне (через отрицание отрицания).

Так и что же это нам дает, чем же является РМ и почему оно такое противоречивое? Всё дело в том, что расселовское множество - это такое множество, которое нужно рассматривать как изменяющееся. То есть получается, что в нашей изначальной формулировке расселовского парадокса «K» — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, и в то же время «K» содержит свою прошлую версию, в которой «K» еще не содержало себя. «К» изменяется во времени, и несмотря на отличие текущего множества и его же в прошлом, это то же самое множество. Подобно тому, как человек содержит себя прошлого в себе, но не является тем, кем он был 10 лет назад, но всё-таки и является тем же самым человеком. Информация и материя, как известно, неуничтожимы и то, что человек содержит в себе прошлого себя - не философская абстракция, а физический факт. Развивающийся, изменяющийся, живой человек одновременно и равен, и не равен самому себе, так как буквально ежесекундно он изменяется хотя бы на одну клеточку, но всё-таки остается собой же. Очевидно примерно так и ведет себя расселовское множество, которое является не статичным, но изменяющимся.

А отсюда следует вывод, что возможно, именно в этом и заключается путь будущего развития математики - из науки, рассматривающей статику, стать наукой, умеющей работать и с процессами, в противном случае всё новых парадоксов и кризисов математических оснований будет не избежать. 

Спасибо, что дочитали. Ну а теперь приглашаю вас жестко побомбить в комментариях прямо здесь, ну или может быть у меня в тг-канале.