Измерение ускорения свободного падения при помощи пружинного маятника
В интернете можно найти только один способ как измерить ускорение свободного падения при помощи пружинного маятника и этот метод заключается в том, что бы сбросить его из окна засечь время и померить высоту и далее по формуле L=gt²/2 найти ускорение свободного падения. Но чет мне кажется, что я нашел другой метод :)
Переведем маятник в вертикальное положение, как показано на рисунке, и введем ось ОХ вертикально вниз так, чтобы точка 0 находилась на одном уровне с концом пружины (без груза).
Нулевым моментом времени будет тот момент, когда мы только повесили груз. Очевидно, что координата и скорость в нулевой момент времени равны нулю.
Запишем второй закон Ньютона (сразу в проекции на ось)
ma = mg - kx, где m – масса груза, а k – жесткость пружины.Перепишем в дифференциальной форме:
Получаем неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.
Для его решения необходимо решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
Для решения этого дифференциального второго порядка необходимо решить характеристическое уравнение:
При его решении не должно возникнуть никаких проблем
Зная корни характеристического уравнения мы можем найти корни нашего однородного диффура второго порядка:
Теперь необходимо найти какое-либо частное
решение x1 неоднородного диффура второго порядка.
В нашем случае это можно очень просто сделать подбором.
Пусть x1 = C, C ∈ ℝ. Тогда наше уравнение принимает следующий вид:
Отсюда находим C и соответственно x1:
Зная x0 и x1 мы можем найти решение нашего начального неоднородного диффура второго порядка прибавив наши завоеванные трофеи x0 и x1.
Необходимо найти константы C1 и C2.
Ранее было сказано, что координата и скорость в нулевой момент времени равны нулю. Т.е. мы можем определить две константы просто решив уравнения x(0) = 0 и v(0) = x’(0) = 0.
Теперь зная все константы можно записать окончательное решение:
Отсюда следует, что
Но как узнать массу грузика или жесткость пружины не зная ускорение свободного падения?
Очевидно, что
А частоту уже можно измерить при помощи секундомера.
Наша формула принимает следующий вид:
Так же я проверил эту формулу экспериментально и получил g=8,7 (достаточно хорошая точность учитывая то, что у меня были далеко не самые точные измерительные приборы)
(к слову при помощи математического маятника я получил g=10,5)
КОРРЕКТНОСТЬ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПРОВЕРЕНА ПРИ ПОМОЩИ WolframAlpha
